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数学教育，

究竟是知识上的机械式灌输，

还是思维上的发展性引导？

日本数学教育议会创立者，《数学与生活》作者 远山启

数学教育改革反思之作

点燃求知之心，让数学教育回归本质

透彻讲解数学体系要点

传授人性化教学、学习方法

数学其实是一门很单纯的学问，只要能扎实掌握重点，那么所有人都能把它学明白。而算得上重点的内容并不多，一学年最多有两三处。教师只要花时间将这些重点讲透彻，就无须将所有的知识细节逐一灌输给学生了。本书的目的，就是要将数学这门学科中为数不多的重点说透彻、讲明白。——远山启

本书为日本数学教育议会创立者远山启的数学教育科普作品。书中通俗解读了数学教育中的重点、难点知识，用直观的方式梳理了“量与数”“集合与逻辑”“空间与图形”“变数与函数”的知识体系，并结合作者多年的教学与研究经验，向读者传授了独创的教学方法与学习技巧，引导学习者掌握具有发展性的思考方法，真正从原理上理解数学知识。

本书适合数学爱好者阅读学习，也适合作为教师教学、家长辅导的参考指南。

序章

0.1　答案相同也“不同” 2

0.2　教学方法的保守性 3

0.3　教科书与教学制度的历史 4

0.4　黑封面教科书 5

0.5　绿封面教科书 7

0.6　蓝封面教科书 8

0.7　生活单元学习法 8

0.8　如今的制度 9

第1章　量

1.1　广义的量 12

1.2　生物与环境 13

1.3　量是信息 14

1.4　教学中量的缺失 15

1.5　量的系统性教学 18

1.6　离散量和连续量 18

1.7　集合的个数 20

1.8　算盘和计算尺 21

1.9　量词和单位 22

1.10　外延量和内涵量 24

1.11　相加性 25

1.12　重量 26

1.13　单位的导入 27

1.14　直接比较 28

1.15　间接比较 28

1.16　个别单位 29

1.17　统一单位 30

1.18　时间 32

1.19　内涵量 33

1.20　密度的三种用法 35

1.21　从量到数 37

1.22　乘法的意义 38

1.23　分数的乘法 40

1.24　语言差异 40

1.25　度和率 42

1.26　高级的量 43

1.27　多维量 44

1.28　向量和矩阵 45

第2章　数

2.1　一一对应 48

2.2　康托尔的集合论 49

2.3　序数 52

2.4　求剩和求差 53

2.5　数词与数字 56

2.6　原始社会的数词 57

2.7　欧洲的数词 58

2.8　心算和笔算 61

2.9　汉字数字和算术数字 62

2.10　数位和0 63

2.11　数数主义 65

2.12　向心算倾斜 67

2.13　数学应以笔算为中心 68

2.14　心算和数学 69

2.15　0 的含义 70

2.16　0 的历史 72

2.17　数位的原理 73

2.18　方便合并的方块 74

2.19　三者关系 77

2.20　加法 78

2.21　五·二进制 79

2.22　题目的数量 82

2.23　题目的分类和排序 83

2.24　减法 87

2.25　减减法和减加法 89

2.26　两步退位 90

2.27　乘法 91

2.28　日本的九九乘法表 93

2.29　除法 94

2.30　求商 98

2.31　分数·小数 101

2.32　比例分数 102

2.33　量和分数 103

2.34　分数运算 105

2.35　分数的乘法 109

2.36　分数的除法 111

第3章 集合与逻辑

3.1　集合是什么 116

3.2　无穷集合 118

3.3　集合的定义 119

3.4　要素 121

3.6　补集 124

3.7　交集 125

3.8　并集 127

3.9　德·摩根定理 128

3.10　空集 130

3.11　逻辑 132

3.12　命题 133

3.13　真和假 133

3.14　否定 135

3.15　联言 135

3.16　真值表 137

3.17　0 和1 的计算 139

3.18　公路网 140

3.19　all 和some 144

3.20　否定的模糊性 146

3.21　谓语和集合 148

3.22　直积 149

3.23　概率 150

第4章　空间与图形

4.1　古典几何学 154

4.2　方格几何 156

3.5　部分和整体 122

4.3　几何学与逻辑 158

4.4　公理的复杂性 160

4.5　不完全证明 160

4.6　一般与特殊 162

4.7　归纳和演绎 163

4.8　折线几何 165

4.9　投影图 168

4.10　球面几何学 170

4.11　球面过剩 173

4.12　纬度和经度 175

4.13　初等数论 176

4.14　算法 180

第5章　变数与函数

5.1　字母的含义 184

5.2　字母的变数含义 187

5.3　应用题 188

5.4　龟鹤算 190

5.5　函数的功能 197

5.6　自由落体定律 197

5.7　量的因果定律 198

5.8　符号 199

5.9　正比 200

5.10　函数与正比 203

5.11　映射 204

5.12　函数和图像 207

后记 209

远山启 Hiraku Toyama

远山启（1909－1979）1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代著名数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“瓷砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。著有《数学与生活》《数学与生活3：无限与连续》《现代数学对话》《函数论》等。

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日本的学生在这一点上非常幸运。当然，日语数词的合理性全倚仗汉语。汉语恐怕是世界上数词最合理的语言了。150在汉里是一百五十，连百位上的“1”也要读出来，这一点非常有利算术教学。日语将150读成“百五十”

所以在算术教学中，“顺序”至关重要。在教授10之前，必须要给学生讲解0的含义和数位知只。简单地将“十”等同于“10”的做法并不恰当。

我小时候在九州的一所乡下小学读一年级，之前老师已经在课上教过，10是一个数字，所以某一天在开始讲新课之前，老师可有没有人知道十一怎么写。我自告奋勇，在黑板上沾沾自喜地写上了“101”，没想到老师却说：“不对，还有其他会写的同学吗？”于是有其他同学写下了“11”，老师说这位同学写的才是对的。我非常不解，不明白自己的答案到底错在哪里。当时那种愤愤不平的

对题目进行分类，还有一个好处。教师能通过学生做错的题型判断出学生没有理解哪类题的解题方法。比如，学生总是算错个位或十位上的进位，那么接下来教师就可以有针对性地挑选此类题型让学生多加练习

这种方法堪称“计算练习的营养学”。比如，发现身体缺维生素B时，就可以选择补充维生素B的治疗和膳食方案。不对题目进行分类的话，就无法精确地了解哪个学生不会做哪类题型，自然无法做出改进

书籍介绍

数学教育，

究竟是知识上的机械式灌输，

还是思维上的发展性引导？

日本数学教育议会创立者，《数学与生活》作者 远山启

数学教育改革反思之作

点燃求知之心，让数学教育回归本质

透彻讲解数学体系要点

传授人性化教学、学习方法

数学其实是一门很单纯的学问，只要能扎实掌握重点，那么所有人都能把它学明白。而算得上重点的内容并不多，一学年最多有两三处。教师只要花时间将这些重点讲透彻，就无须将所有的知识细节逐一灌输给学生了。本书的目的，就是要将数学这门学科中为数不多的重点说透彻、讲明白。——远山启

本书为日本数学教育议会创立者远山启的数学教育科普作品。书中通俗解读了数学教育中的重点、难点知识，用直观的方式梳理了“量与数”“集合与逻辑”“空间与图形”“变数与函数”的知识体系，并结合作者多年的教学与研究经验，向读者传授了独创的教学方法与学习技巧，引导学习者掌握具有发展性的思考方法，真正从原理上理解数学知识。

本书适合数学爱好者阅读学习，也适合作为教师教学、家长辅导的参考指南。