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《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》共分为7章。第一章包含了关于深度、Krull维数以及CM性质等的一些核心结果或者基本事实；其中关于标准代数的CM性与分次CM性的等价性、序列CM性的代数描述两部分内容十《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》的特色和贡献。第二章是讨论单纯复形的基本事实，特别是描述了两个代数不变量（由复形构造的面环的深度、Krull维数）与复形的拓扑不变量之间的确切关系）。第三章讨论复形的shellable性质，特别是详细推出其用restrictionmap进行的等价刻画、与d-可分性之间的等价关系，是对于shellable性质的深刻描述和讨论。第四章介绍了如何由拓扑复形构造代数链复形，介绍相应的导出同调群，并重点介绍了近代文献中有较多应用的Koszul复形以及三种常用复形的详尽构造。第五章是《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》的核心和重点，全面深刻的介绍CM复形、shellable与CM的关系、线性预解式与线性商，如何从图出发构造好的拓扑与代数复形。第五章包含了作者*新的研究成果，也综述了多个研究专题（包含作者和业界核心专家的成果）。第六章主要介绍Bejorner等人的近期成果，主要是讨论如何从偏序集出发构造系列的shellable复形等。第七章是专门讨论正则度的，既包含中心的传统结果，也包含了作者等人的近期研究成果。

Contents

Preface

Notations

Chapter 1　Preliminaries on Cohen-Macaulay Rings and Modules　1

1.1　Jacobson radical and NAK Lemma　2

1.2　Modules with finite lengths　3

1.3　On graded rings and minimal graded free solution　6

1.4　Cohen-Macaulay rings and Cohen-Macaulay Modules　11

1.4.1　Dimension, height and Krull’s PI theorem　11

1.4.2　Depth Lemma and depthI(M)　14

1.4.3　Local rings: Krull dimension and a system of parameters　17

1.4.4　Cohen-Macaulay modules and Cohen-Macaulay rings: local case　22

1.4.5　Cohen-Macaulay rings: non-local case　26

1.4.6　Cohen-Macaulay rings: graded case　28

1.4. 7　Gorenstein rings　34

1.5　Sequentially Cohen-Macaulay modu1es　35

Chapter 2　Abstract Simplicial Complexes　40

2.1　Definitions, fundamiental properties and examples　40

2.1.1　Abstract simplex and abstract simplicial complex＊40

2.1.2　0ther notations and symbols on a simplicial complex ＊　41

2.1.3　Fundaｍental operations on sub-complexes and geometric realization of an abstract simplicial complex　42

2.2　The facet idea1I(*) and Stanley-Reisner ideal I*of a simplicial complex *　47

2.2.1　Monomial ideals and ideal operations　47

2.2.2　The Stanley-Reisner (nonface） ideal I* and facet ideal I*　47

2.2.3　The Alexander dual simplicial complex * of*and related properties　48

2.2.4　Square-free monomial ideal I: its nonface complex, facet complex; I* and f-ideals　54

2.3　Relative simplicial complexes and relative nonface ideals　55

Chapter 3　Shellable Simplicial Complexes　57

3.1　Destriction and examples　57

3.2　Restriction maps and Rearrangement Lemmas　60

3.3　(r,s)-skeleton *　64

3.4　Shifted， vertex-decomposable and shellable conditions for a simplicial complex　66

3.5　Shellable and k-decomposable　69

Chapter 4　Chain Complex Reduced from a Simplicial Complex and Koszul Complexes　73

4.1　The chain complex reduced from an abstract simplicial complex and reduced homology groups　74

4.2　Koszul complexes of lengths 1 or 2　79

4.3　Koszul complexes of geueral length　80

4.3.1　Exterior algebra constructed from a module　80

4.3.2　Koszul complexes： two commonly used definitions　81

4.4　Koszul complexes: a S田nmary of main results　83

4.5　Other resolutions and complexes of monomial ideals　84

4.5.1　The Taylor resolution　84

4.5.2　The Scarf complex　86

4.5.3　The Lyubeznik resolutions　89

Chapter 5　(Sequentially) Cohen-Macaulay Simplicial Complexes and Graphs　91

5.1　Cohen-Macaulay simplicial complexes　92

5.1.1　Fundamental properties and characterizations　92

5.1.2　Connected in codimension one　97

5.1.3　Minimal Cohen-Macaulay simplicial complexes and shelled over　100

5.2　Matroid complexes　104

5.3　Pure shellable, constructible, and Cohen-Macaulay　107

5.4　A graded ideal with linear quotients and shellable complexes　111

5.4.1　A graded id凶i with linear quotients　111

5.4.2　Shellable complexes and monomial ideals having linear quotients　115

5.4.3　Powers of edge ideals of graphs and regularity　118

5.4.4　A polymatroidal monomial ideal has linear quotients　119

5.4.5　Strongly shellable simplicial complexes　120

5.5　sCM simplicial complexes and sCM graded modules　121

5.6　Clique complex *, edge ideal I(G) and cover ideal Ic(G)　123

5. 7　Vertex-decomposable graphs a且d shellable graphs　124

5.8　Minimal verex covers and standard irredundant primary decomposition of I(G)　127

5.9　Cohen-Macaulay graphs and well-covered graphs　129

5.10　Shellable clutters　131

5.10.1　Clutters with the free vertex property　132

5.10.2　Chordal clutters　133

5.11　Some particular classes of graphs　133

5.11.1　Bipartite graphs　133

5.11.2　Boolean graphs are Cohen-Macaulay　138

5.11.3　Cactus graphs and classes of vertex-decomposable graphs　143

5.11.4　Cameron-Walker graphs　146

5.11.5　Chordal graphs　147

5.11.6　F-simplicial complexes and f-ideals of kind （n，d）　150

5.11.7　Gap-free graphs and related H-free graphs　174

5.11.8　Graphs whose complements are r-partite　176

5.11.9　Graph expansions and graph blow ups　185

5.11.10　Interlacing graphs * and triangular graphs *　188

5.11.11 Vertex clique-whiskered graphs * and their generalizations *　189

5.11.12　1-decomposable graphs　202

Chapter 6　Shellable Simplicial Complexes from Posets　204

6.1　Preliminaries　204

6.2　A bounded, locally upper-semimodular poset is pure shellable　205

6.3　EL-labeling of a poset and EL-shellable graded posets　209

6.4　Admissible lattices and SL-shellable poset　213

6.5　CL-shellable poset and recursive atom orderings　215

6.5.1　Rooted interval and CL-shellable poset　216

6.5.2　Recursive atom orderings　218

Chapter7　Betti Numbers and Castelnuovo-Mumford Regularity　222

7.1　Calculating Betti numbers via the functor Tor　222

7.2　Polarization keeps the Betti numbers and regularity unchanged　224

7.3　Hochster’s Formula and other two reformulations　226

7.4　Graded Betti numbers of graphs: some general reults　230

7.5　Spli也table monomial ideals and Betti splitting　231

7.6　Miscellanies Results on Betti Numbers　232

7.6.1　The join complex* of simplicial complexes　232

7.6.2　Graded S-modules with pure resolutions　233

7.6.3　Stable monomial ideals　233

7.6.4　Monomial ideals with linear quotients　233

7.6.5　Vertex-decomposable simplcial complexes and multiple clique-whiskered graph　234

7.6.6　Chordal graphs　235

7.7　Castelnuovo-Mumford regularity of graphs　235

7.7.1　A brief survey of some general results　235

7.7.2　Graphs whose edge ideals have regularity less than 4　237

References　240

Index　248

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书籍介绍

《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》共分为7章。第一章包含了关于深度、Krull维数以及CM性质等的一些核心结果或者基本事实；其中关于标准代数的CM性与分次CM性的等价性、序列CM性的代数描述两部分内容十《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》的特色和贡献。第二章是讨论单纯复形的基本事实，特别是描述了两个代数不变量（由复形构造的面环的深度、Krull维数）与复形的拓扑不变量之间的确切关系）。第三章讨论复形的shellable性质，特别是详细推出其用restrictionmap进行的等价刻画、与d-可分性之间的等价关系，是对于shellable性质的深刻描述和讨论。第四章介绍了如何由拓扑复形构造代数链复形，介绍相应的导出同调群，并重点介绍了近代文献中有较多应用的Koszul复形以及三种常用复形的详尽构造。第五章是《Complexes and the Cohen-Macaulay Property(复形与Cohen-Macaulay性质）》的核心和重点，全面深刻的介绍CM复形、shellable与CM的关系、线性预解式与线性商，如何从图出发构造好的拓扑与代数复形。第五章包含了作者*新的研究成果，也综述了多个研究专题（包含作者和业界核心专家的成果）。第六章主要介绍Bejorner等人的近期成果，主要是讨论如何从偏序集出发构造系列的shellable复形等。第七章是专门讨论正则度的，既包含中心的传统结果，也包含了作者等人的近期研究成果。